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第十八届希望杯八年级数学竞赛试题

发布时间:

2007 年第十八届希望杯八年级数学竞赛试题

第十八届”希望杯“全国数学邀请赛

初二 第一试

2007 年 3 月 18 日

上午 8:30 至 10:00

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英

文字母写在下面的表格内。

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 共得

答案

1. 下列运动属于*移的是( )

(A)乒乓球比赛中乒乓球的运动.

(B)推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行.

(C)空中放飞的风筝的运动.

(D)篮球运动员投出的篮球的运动.

2. 若 x =1 满足 2 m x 2- m 2 x - m =0,则 m 的值是( )

(A)0. (B)1. (C)0 或 1. (D)任意实数.

3. 如图 1,将△APB 绕点 B 按逆时针方向旋转 90 后得到△ A?P?B? ,若 BP=2,那么 PP? 的长为( )

(A) 2 2 . (B) 2 . (C)2 . (D)3.

4.已知

a

是正整数,方程组

?ax ??3x

? ?

4y 2y

? ?

8 6

的解满足 x >0, y <0,则 a 的值是(



(A)4 . (B)5 . (C)6. (D)4,5,6 以外的其它正整数.

5.让 k 依次取 1,2,3,…等自然数,当取到某一个数之后,以下四个代数式:①k+2;②k2; ③2 k;④2 k

就排成一个不变的大小顺序,这个顺序是( )

(A)①<②<③<④.

(B)②<①<③<④.

(C) ①<③<②<④.

(D) ③<②<①<④.

6.已知 1 个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长度分别是 8 和 10 , 那么顺次连接这个四边形的

四边中点所得的四边形的面积是( )

(A)40 . (B) 20 2 .

(C)20.

(D)10 2 .

7. Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )

(A)1:1. (B)2: 3 . (C)1: 2 . (D)1:2.
(英汉词典:length 长度;diagonal 对角线;square 正方形;rhombus 菱形;respectively 分别地;ratio 比;area 面积) 8.直角三角形有一条边长为 11,另外两边的长是自然数,那么它的周长等于( ).
(A)132. (B)121. (C)120. (D)111.
9.若三角形三边的长均能使代数式是 x 2-9 x +18 的值为零,则此三角形的周长是( ).
(A)9 或 18. (B)12 或 15 . (C)9 或 15 或 18. (D)9 或 12 或 15 或 18.

10. 如图 2,A、B、C、D 是四面互相垂直摆放的镜子,镜面向内,在镜面 D 上放了写有字母“G”的纸片,

某人站在 M 处可以看到镜面 D 上的字母 G 在镜面 A、B、C 中的影像,则下列判断中正确的是( )

(A)镜面 A 与 B 中的影像一致 . (B)镜面 B 与 C 中的影像一致 .

(C)镜面 A 与 C 中的影像一致 . (D)在镜面 B 中的影像是“G”.

二、A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分)

11.如图 3,在 △BMN 中,BM=6,点 A、C、D 分别在 MB、BN、MN 上,且四边形 ABCD 是*行四边形,? NDC= ? MDA,

则 ABCD 的周长是



12.如果实数 a ? b,且 10a ? b ? a ?1 ,那么 a ? b 的值等于



10b ? a b ?1

13.已知 x = a?b M 是 M 的立方根, y ? 3 b ? 6 是 x 的相反数,且 M =3 a -7,那么 x 的*方根是 .

14.如图 4,圆柱体饮料瓶的高是 12 厘米,上、下底面的直径是 6 厘米.上底面开有一个小孔供插吸管用,

小孔距离上底面圆心 2 厘米,那么吸管在饮料瓶中的长度最多是=

厘米.

15.小杨在商店购买了 a 件甲种商品,b 件乙种商品,共用 213 元,已知甲种商品每件 7 元,乙种商品每件

19 元,那么 a ? b 的最大值是



16. ABC 是边长为 2 3 的等边三角形。点 D 在三角形内,到边 AB 的距离是 1,到 A 点的距离是 2,点 E

和点 D 关于边 AB 对称,点 F 和点 E 关于边 AC 对称,则点 F 到 BC 的距离是



17.如图 5,小华从 M 点出发,沿直线前进 10 米后,向左转 20 ,再沿直线前进 10 米后,又向左转 20 ,……,

这样下去,他第一次回到出发地 M 时,行走了

米.

18.关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 3的所有整数解的和是



19.已知点(1,2)在反比例函数 y ? a 所确定的曲线上,并且该反比例函数和一次函数 y ? x ?1 x

在 x ? b 时的值相等,则 b 等于



20.如图 6,大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成,这些多边形(不包括大五边形)的所有内角

和等于



三、B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分,每一题两个空,每空 4 分)

21.解分式方程

2?5 x ?1 1? x

?

m
2

会产生增根,则 m

x ?1

=





22.Let A ? abcd be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, then

A=





(英汉词典:four-digit number 四位数;square *方、*方数;integer 整数)

23.国家规定的个人稿酬纳税办法是:①不超过 800 元的不纳税;②超过 800 元而不超过 4000 元的,超过

800 元的部分按 14%纳税;③超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.某人编写了两本书,其中一本书的稿酬

不超过 4000 元,第二本书的稿酬比第一本书多 700 元,两本书共纳税 915 元,则两本书的稿酬分别是=

元和

元.

24.直线 l 交反比例函数 y ? 3 的图象于点 A,交 x 轴于点 B,点 A、B 与坐标原点 o 构成等边三角形,则 x

直线 l 的函数解析式为





25.若 n 是质数,且分数 n ? 4 不约分或经过约分后是一个最简分数的*方,则 n





n ?17

[参考答案]

/ 一、选择题:

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 B

C

A

B

C

C

A

A

C

C

提示:1、略

2、原式可化为:m(1-m)=0,m=0 或 m=1

3、由题意得△BPP?是等腰直角三角形,由勾股定理得 PP?=2 2

4、解方程组得:

?
?? ?
? ??

x y

? ?

4 6?a 12 ? 3a 6?a

∵x>0,y<0



?6 ? a ? ??12 ? 3a

0 ?

0

解得

4<a<6,

∴a=5.

5、当 k>4 时,2k>k2>2k>k+2,所以选 C

6、顺次连接该四边形的四边中点所得的四边形是矩形,面积是:

( 1 ×10)×( 1 ×8)=20

2

2

7、S 正= 1 a2 , S 菱形= 1 bc,∵b:a=a:c,即 a2=bc,∴S 正 :S 菱形 =1:1

2

2

8、设另两边为 a,b,则 a2+b2=112 (不合题意舍去)或 112= a2 - b2 =(a+b)(a-b)=121

=121×1; ∵a,b 是自然数 ∴a+b=121, ∴周长是 121+11=132

9、∵x2-9x+18=0,即(x-6)(x-3)=0 ,∴x=6 或 x=3,∴三角形三边分别是:

3,3,3 或 6,6,6 或 6,6,3。周长:9 或 15 或 18。

10、略

二、A 组填空题:

提示:

11

ABCD

?BC //BM

? ?NDC ? ?M

?NDC ? ?MDA ??MDA ? ?M ? AM ? AD ? BA ? AD ? BA ? AM ? BM ? 6 ? BC ? DC ? BA ? AD ? 6 ? ABCD
周长为 12
12. ?10a ? 6 ? a ? 1 10b ? a b ? 1

?(10a ? b)(b ? 1) ? (10b ? a)(a ? 1)

化简得(a-b)(a+b-9)=0 ?a ? b ?a ? b ? 9 ? 0 ?a ? b ? 9

13.由题意得

? a?b?3 ??b ? 6 ? 7 ? 3a

解得

? a ?5 ??b ? ?2

?M ? 3a ? 7 ? 8
3
?x? 8 ? 2

? x的*方根是 ? 2

14 由题意得 AB=5 BC=12

?AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 169

?AC ?13
15 由题意得 7a+196=213
213 ? 196
a=
7 ?在 b 最小时 a+b 值最大

?b?2 ? ??a ? 25

即 a+b=27

16. 画出图形,由对称的性质和等边 三角形的性质可设 F 到 BC 的距离为 4

17 .由多边形外角和为 360 0 ,个外角是 200 ,

可设该多边形为 360 0 = 200 =18 边形

? x ?1 ? x ? 2 ?3
?0 ? x ? 3 ?所有整数解为和为 0+1+2+3=6
18.

19 由题意设 2= a 1

? a=2

?2 ?b?1 b
? b2 ? b ? 2 ? 0 ?b ? ?2或b ? ?1

20. 5 个三角形 10 个四边形

5?1800 ? 10 ? 3600 ? 4500°

三、B 组填空题 提示:21.去分母设 2(x-1)-5(x+1)=m
当 x=1 时 m=-10 当 x=-1 时 m=-4

23.设第一本 x 元 第二本 x+700 元

(x ? 800) ?14% ? (x ? 700) ?11% ? 915

解得:x=3800 x+700=4500 答:第一本 3800 元 第二本 4500 元

24.由题意得

?? ?

??

xy ? 3 x2 ? y2 ? 2x

解得

? ? ?

x? y?

1 3

? x ? ?1

? ?

y

?

?

3

? A(1, 3) 或( ?1 ? 3 )

? B(2.0) 或(-2,0)

解析式为 y= ? 3x ? 2 3 或 y= ? ? 3x ? 2 3
25.11;31




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