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2018届考前三个月高考数学(理科)总复*训练(江苏用) 解答题滚动练4 Word版含答案

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解答题滚动练 4 1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知底面 ABCD 为矩形,且 AB= 2,BC=1,E,F 分别是 AB, PC 的中点,PA⊥DE. (1)求证:EF∥*面 PAD; (2)求证:*面 PAC⊥*面 PDE. 证明 (1)方法一 取线段 PD 的中点 M,连结 FM,AM. 1 因为 F 为 PC 的中点,所以 FM∥CD,且 FM= CD. 2 因为四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 1 所以 EA∥CD,且 EA= CD. 2 所以 FM∥EA,且 FM=EA. 所以四边形 AEFM 为*行四边形,所以 EF∥AM. 又 AM? *面 PAD,EF?*面 PAD, 所以 EF∥*面 PAD. 方法二 连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N,连结 PN. 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD∥BC, 所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE. 又 AE=EB,所以△CEB≌△NEA. 所以 CE=NE. 又 F 为 PC 的中点,所以 EF∥NP. 又 NP? *面 PAD,EF?*面 PAD, 所以 EF∥*面 PAD. 方法三 取 CD 的中点 Q,连结 FQ,EQ. 在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点, 所以 AE=DQ,且 AE∥DQ. 所以四边形 AEQD 为*行四边形, 所以 EQ∥AD. 又 AD? *面 PAD,EQ?*面 PAD, 所以 EQ∥*面 PAD. 因为 Q,F 分别为 CD,CP 的中点, 所以 FQ∥PD. 又 PD? *面 PAD,FQ?*面 PAD, 所以 FQ∥*面 PAD. 又 FQ,EQ? *面 EQF,FQ∩EQ=Q,所以*面 EQF∥*面 PAD. 因为 EF? *面 EQF,所以 EF∥*面 PAD. (2)设 AC,DE 相交于 G. 在矩形 ABCD 中, 因为 AB= 2BC, DA CD E 为 AB 的中点,所以 = = 2. AE DA 又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA, 所以∠ADE=∠DCA. 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°, 所以∠DCA+∠CDE=90°. 由△DGC 的内角和为 180°,得∠DGC=90°. 即 DE⊥AC. 又 PA⊥DE, PA∩AC=A,PA,AC? *面 PAC, 所以 DE⊥*面 PAC, 又 DE? *面 PDE,所以*面 PAC⊥*面 PDE. 2.如图所示,A,B 是两个垃圾中转站,B 在 A 的正东方向 16km 处,AB 的南面为居民生活 区.为了妥善处理生活垃圾,政府决定在 AB 的北面建一个垃圾发电厂 P.垃圾发电厂 P 的选 址拟满足以下两个要求(A,B,P 可看成三个点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与 它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里 参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大).现估测得 A,B 两个中转站每天集中的生 活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求? 解 方法一 由条件①,得 PA 50 5 = = . PB 30 3 2 2 2 ?5x? +16 -?3x? x 8 设 PA=5x,PB=3x,则 cos∠PAB= = + , 2×16×5x 10 5x 所以点 P 到直线 AB 的距离 h=PAsin∠PAB=5x = = 1 4 2 - x +17x -64 4 ? x 8 ?2 1-? + ? ?10 5x? 1 2 2 - ?x -34? +225, 4 2 所以当 x =34,即 x= 34时,h 取得最大值 15km. 即选址应满足 PA=5 34km,PB=3 34km. 方法二 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立如图 所示的*面直角坐标系, 则 A(-8,0),B(8,0). PA 50 5 由条件①,得 = = . PB 30 3 设 P(x,y)(y>0), 则 3 ?x+8? +y =5 ?x-8? +y , 2 2 2 2 化简得(x-17) +y =15 (y>0), 即点 P 的轨迹是以点(17,0)为圆心、15 为半径的圆位于 x 轴上方的部分. 则当 x=17 时,点 P 到直线 AB 的距离最大,最大值为 15km. 所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中坐标为(17,15)即可. 2 2 2 PA 50 5 方法三 由条件①,得 = = . PB 30 3 过点 P 作 PD 垂直于 AB,设 PD=h,AD=x,则 DB=|16-x|, 3 x +h =5 h +?16-x? , 2 2 2 2 h2=-(x-25)2+225. 所以当 x=25 时,h 取得最大值 15. 答 选址应满足 PA=5 34km,PB=3 34km. 3.已知数列{an}满足 an+an+1=2n-3,n∈N . * (1)若数列{an}为等差数列,求 a1; (2)设 a1=a(a>0),? n∈N ,n≥2,不等式 解 (1)设数列{an}公差为 d, 则 2n-3=an+an+1=a1+(n-1)d+a1+nd=2dn+(2a1-d)对? n∈N 成立, ?2d=2, ? 所以? ?2a1-d=-3, ? * * 2 a2 n+an+1 ≥3 成立,求实数 a 的最小值. an+an+1 故 d=1,a1=-1. (2)由 an+an+1=2n-3,知{an-(n-2)}为等比数列,公比 q=-1, 所以 an-(n-2)=(a+1)(-1) 故 an=(n-2)+(a+1)(-1) n-1 , n-1 . 2 2 2 a2 ?n-1+a? +?n-2-a? n+an+1 ≥3,得 ≥3, an+an+1 2n-3 2 ①当 n 为不小于 3 的奇数时,由 2 2 化简得 a



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